Simulator/倒立振子/Maximaでヤコビ行列

ヤコビ行列
制御系の線形化
倒立振子のヤコビ行列
- Maxima プログラム
- 実行例

ヤコビ行列 †

※ (j,k) 成分が ajk であるような行列を [ajk] と表記する

$\vec{f}=(f_1,f_2,\cdots,f_n)$ ， $\vec{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ に対して，

$\frac{\partial\vec{f}}{\partial\vec{x}} := \left[\frac{\partial f_j}{\partial x_k}\right]$

で定義される行列を，ヤコビ行列という．

↑

制御系の線形化 †

非線形制御系：

$\dot{\vec{x}}=\vec{f}(\vec{x},\vec{u})$

の状態 $\vec{x}$ および入力 $\vec{u}$ のなかから，調べたい基準状態 $X_0:=(\vec{x}_0,\;\vec{u}_0)$ を選ぶ．

例えば，振子の倒立運動を調べたければ，倒立して静止している振子の角度と角速度を基準状態に選ぶ．完全に真上に倒立しているとき制御力は不要になるから，入力の基準は0にすればよかろう．

基準状態 $X_0$ の近くのごく狭い範囲に限定して，非線形制御系の挙動を，線形制御系：

$\dot{\vec{x}}=A\vec{x}+B\vec{u}$

に真似させることを線形化という．そのための近似行列 $A,\;B$ は，

$A=\frac{\partial\vec{f}}{\partial\vec{x}},\;B=\frac{\partial\vec{f}}{\partial\vec{u}}$

のようなヤコビ行列になる． $A,\;B$ は $\vec{x},\;\vec{u}$ の成分を含むが，これら成分には，基準状態 $X_0:=(\vec{x}_0,\;\vec{u}_0)$ を代入する．代入する基準状態 $X_0$ を明示するために

$X_0$ まわりの線形化
$X_0$ まわりのヤコビ行列

というような表現をよく用いる．

↑

倒立振子のヤコビ行列 †

平衡点まわりのヤコビ行列を求める．倒立振子の平衡点は，

$(x,\dot x,\theta,\dot\theta)=(0,0,0,0),\quad (0,0,\pi,0)$

の２種類がある．

↑

Maxima プログラム †

invp_jac.mac

/* invp_jac.mac */
/* ユーザー関数 */
substlist(a,x,f):= block([f0:f,N:length(a)],
     for i thru N do f0:subst(a[i],x[i],f0),f0)$        
/* 状態変数とパラメータ */
xx:[x,dx,th,dth]$    /* 状態変数 */
m1:2/3$ m2:1/3$ r:1$ /* パラメータ */
/* 慣性行列 */
M: ident(2)$ /* 初期化（単位行列） */
M[1,1]: m1+m2$
M[1,2]: m2*r*cos(th)$
M[2,1]: cos(th)$
M[2,2]: r$
M;
/* 右辺 */
b: [0,0]$ /* 初期化（ゼロベクトル） */
b[1]: m2*r*(dth^2)*sin(th)+u$ 
b[2]: g*sin(th)$
b;
/* 加速度について解く */
hh:first(transpose(invert(M).b))$
ff: [0,0,0,0]$
ff[1]: dx$  ff[2]: hh[1]$ /* 一階化 */
ff[3]: dth$ ff[4]: hh[2]$
/* ヤコビ行列を求める */
A:jacobian(ff,xx)$  /* 状態変数に関して */
B:jacobian(ff,[u])$ /* 制御入力に関して */
/* 平衡点xx=(0,0,0,0) */
A1:ratsimp(substlist([0,0,0,0],xx,A));
B1:ratsimp(substlist([0,0,0,0],xx,B));
/* 平衡点xx=(0,%pi,0,0) */
A2:ratsimp(substlist([0,0,%pi,0],xx,A));
B2:ratsimp(substlist([0,0,%pi,0],xx,B));

↑

実行例 †

A1，A2は状態変数に関するヤコビ行列 $\frac{\partial\vec{f}}{\partial\vec{x}}$ の各平衡点での値である． B1，B2は制御入力に関するヤコビ行列 $\frac{\partial\vec{f}}{\partial\vec{u}}$ の各平衡点での値である *1．

> maxima -qb invp_jac.mac
(中略)
(%i25)           A1 : ratsimp(substlist([0, 0, 0, 0], xx, A))
                               [ 0  1   0   0 ]
                               [              ]
                               [         g    ]
                               [ 0  0  - -  0 ]
                               [         2    ]
(%o25)                         [              ]
                               [ 0  0   0   1 ]
                               [              ]
                               [       3 g    ]
                               [ 0  0  ---  0 ]
                               [        2     ]
(%i26)           B1 : ratsimp(substlist([0, 0, 0, 0], xx, B))
                                    [  0  ]
                                    [     ]
                                    [  3  ]
                                    [  -  ]
                                    [  2  ]
(%o26)                              [     ]
                                    [  0  ]
                                    [     ]
                                    [   3 ]
                                    [ - - ]
                                    [   2 ]
(%i27)          A2 : ratsimp(substlist([0, 0, %pi, 0], xx, A))
                              [ 0  1    0    0 ]
                              [                ]
                              [          g     ]
                              [ 0  0   - -   0 ]
                              [          2     ]
(%o27)                        [                ]
                              [ 0  0    0    1 ]
                              [                ]
                              [         3 g    ]
                              [ 0  0  - ---  0 ]
                              [          2     ]
(%i28)          B2 : ratsimp(substlist([0, 0, %pi, 0], xx, B))
                                     [ 0 ]
                                     [   ]
                                     [ 3 ]
                                     [ - ]
                                     [ 2 ]
(%o28)                               [   ]
                                     [ 0 ]
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